Question

18．倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．
（1）如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．完成解题过程．
解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．
（2）类比猜想请，同学们研究：
如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，进而得出△AE′F≌△AEF（SAS），即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，进而得出答案．

解答 解：（1）如图（1），∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AE′F和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AE=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AE′F≌△AEF（SAS）
∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

（2）当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．
理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′，如图（2），连结E′F，
∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AE=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠ADE′+∠ADC=120°，即点F、D、E′不共线，
∴DE′+DF＞EF
∴BE+DF＞EF．

点评 本题考查了四边形的综合题，熟练掌握特殊平行四边形的性质和旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确应用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题，得出EF=E′F是解题关键．