Question

12．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，∠EDO=15°．
（1）试比较线段AO与AE的大小．并证明你的结论；
（2）连接OE，求∠AOE的大小．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC知∠CDE=∠CED=45°，得出△ADE是等腰直角三角形，AD=AE，再证出△OAD是等边三角形，得出AD=AO=DO，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出∠DAO=60°，得出∠OAE=30°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 解：（1）AO=AE；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AO=DO，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE=∠ADE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，
又∵∠EDO=15°，
∴∠ADO=60°；
∴△OAD是等边三角形；
∴AD=AO=DO，
∴AO=AE；
（2）∵△OAD是等边三角形，
∴∠DAO=60°，
∴∠OAE=90°-∠DAO=30°，
∵AO=AE，
∴∠AOE=（180°-30°）÷2=75°．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．