Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如点，，，…都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据和谐点的概念令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，由题意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，方程的根为＝，从而求得a＝1，c＝，所以函数y＝ax2＋4x＋c＝x2＋4x3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

令ax2＋4x＋c＝x，即ax2＋3x＋c＝0，

由题意，△＝324ac＝0，即4ac＝9，

又方程的根为＝，

解得a＝1，c＝．

故函数y＝ax2＋4x＋c34＝x2＋4x3，

如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，3），由对称性，该函数图象也经过点（4，3）．

由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝x2＋4x3的最小值为3，最大值为1，

∴2≤m≤4，

故答案为：2≤m≤4．