Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，DM切⊙O于点D，过点A作AE⊥DM，垂足为E，交⊙O于点C，连接AD．

（1）求证：AD是∠BAC的平分线；

（2）连接CD，若，半径为5，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OD，BD，由切线的性质和已知条件易证OD∥AE，再由平行线的性质和圆的半径相等可证∠EAD=∠BAE，即AD是∠BAC的平分线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，由圆周角定理可得CD=DB，再由勾股定理可求出BF的长，易证Rt△CED≌Rt△BFD，由全等三角形的性质可得CE=BF，问题得解．

解：（1）连接OD，BD

∵DM切⊙O于点D，

∴OD⊥MD，

∵AE⊥DM，

∴OD∥AE，

∴∠ODA=∠EAD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAB，

∴∠EAD=∠BAE，

即AD是∠BAC的平分线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，

∵∠EAD=∠BAE，

∴，

∴CD=BD=2，

设BF=x，则OF=5-x，

∴（2）2-x2=52-（5-x）2，

解得：x=2，

∴BF=2，

在Rt△CED和Rt△BFD中，，

∴Rt△CED≌Rt△BFD（HL），

∴CE=BF=2．