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【题目】如图,已知:抛物线yax+1)(x3)交x轴于AC两点,交y轴于B.且OB2CO

1)求点ABC的坐标及二次函数解析式;

2)在直线AB上方的抛物线上有动点E,作EGx轴交x轴于点G,交AB于点M,作EFAB于点F.若点M的横坐标为m,求线段EF的最大值.

3)抛物线对称轴上是否存在点P使得ABP为直角三角形,若存在请直接写出点P的坐标;若不存在请说明理由.

【答案】1y= ;2;(3)点P的坐标为(1,﹣3)或(1)或(11+)或(11),理由见解析

【解析】

1)利用待定系数法求出的坐标即可解决问题;

2)易用表示线段的长度,再求得的长度关系,根据等角三角函数或三角形相似即可解题;

3为直角三角形时,分别以三个顶点为直角顶点讨论:根据三角形相似和勾股定理列方程解决问题.

1)对于抛物线yax+1)(x3),令y0,得到ax+1)(x3)=0,解得x=﹣13

C(﹣10),A30),

OC1

OB2OC2

B02),

B02)代入yax+1)(x3)中得:2=﹣3a

∴二次函数解析式为

2)设直线AB的解析式为:ykx+b

A30),B02)代入得:,解得:

∴直线AB的解析式为:

由题意可设

∵在RtAOB中,根据勾股定理,得

∵∠EMF+FEM=∠AMG+BAO90°

∵∠AMG=∠EMF

∴∠FEM=∠BAO

∴当时,EF有最大值是

3)∵A30),B02),

OA3OB2

由对称得:抛物线的对称轴是:x1

AE312

设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,当ABP为直角三角形时,存在以下三种情况:

①如图1,当∠BAP90°时,点PAB的下方,

∵∠PAE+BAO=∠BAO+ABO90°

∴∠PAE=∠ABO

∵∠AOB=∠AEP

∴△ABO∽△PAE

,即

PE3

P1,﹣3);

②如图2,当∠PBA90°时,点PAB的上方,过PPFy轴于F

同理得:PFB∽△BOA

,即

③如图3,以AB为直径作圆与对称轴交于P1P2,则∠AP1B=∠AP2B90°

P11y),

AB222+3213

由勾股定理得:AB2P1B2+P1A2

12+y22+312+y213

解得:

综上所述,点P的坐标为(1,﹣3)或(1)或(11+)或(11).

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进园次数()

···

方式一收费()

···

方式二收费()

···

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①若,求的度数;

②求证

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②以D为端点过P作射线DH,作点O关于DE的对称点Q恰好落在内,则CP的取值范围为________.(直接写出结果)

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