Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G， FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED； ②△DFG ≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB=；⑤S△BFG=2.4．其中正确的个数是（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．

解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点，
∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°，
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°，
∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB，
∴∠DEF=∠EFB，
∴BF∥ED，故①正确；
∵AD=FD，
∴DF=DC，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），故②正确；
∵FH⊥BC，∠ABC=90°，
∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°，
∴∠EBF=∠BFH=∠AED，
∴△FHB∽△EAD，故③正确；
∵Rt△DFG≌Rt△DCG，
∴FG=CG，
设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=EF+FG=BE+FG=3+x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，
解得：x=2，
∴BG=4，

∴tan∠GEB=；故④正确；

∵△FHB∽△EAD，且，

∴BH=2FH

设FH=a，则HG=4-2a，

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4-2a）2=22，
解得：a=2（舍去）或a=，

∴S△BFG=×4×=2.4，故⑤正确；
故选：D．