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【题目】如图,△ABC中,ABAC,以AC为直径的⊙OBC于点D,点EAC延长线上一点,且DE是⊙O的切线.

1)求证:∠CDE BAC

2)若AB3BDCE4,求⊙O的半径.

【答案】1)见解析;(214

【解析】

1)根据圆周角定理得出∠ADC=90°,按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系,证明∠ODE为直角即可得到答案;

2)通过证得△CDE∽△DAE,根据相似三角形的性质即可求得.

1)如图,连接ODAD

AC是直径,

∴∠ADC90°-

ADBC

ABAC

∴∠CAD=∠BADBAC

DE是⊙O的切线;

ODDE

∴∠ODE90°

∴∠ADC=∠ODE

∴∠CDE=∠ADO

OAOD

∴∠CAD=∠ADO

∴∠CDE=∠CAD

CADBAC

∴∠CDEBAC

2)解:∵ABACADBC

BDCD

AB3BD

AC3DC

DCx,则AC3x

AD

∵∠CDE=∠CAD,∠DEC=∠AED

∴△CDE∽△DAE

DEx

AC3x28

∴⊙O的半径为14

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···

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···

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