Question

1．已知抛物线C₁：y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P在对称轴上．点Q在第一象限的抛物线上，且以B、C、P为顶点三角形与以B、C、Q为顶点三角形全等．求Q点坐标．

Answer 1

分析 根据抛物线解析式求出A、B、C三点的坐标，观察P、B两点坐标，可以得出两点纵坐标差1，且P、Q两点关于直线BC对称，根据直线解析式设出点Q的坐标，将Q坐标带入抛物线解析式即可求出点Q坐标．

解答 解：∵y=x²-4x+3=（x-3）（x-1）
∴y=0时，可得x₁=1，x₂=3；x=0时，y=3；对称轴为：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）
∵点P在对称轴上，点Q在第一象限的抛物线上，设点P的坐标为（2，y），点Q的坐标为（x，x²-4x+3），
∴P、B两点横坐标差1，
∵以B、C、P为顶点三角形与以B、C、Q为顶点三角形全等，
∴点Q纵坐标为1，且点P、Q关于直线BC对称，
∴设直线PQ解析式为y=kx+b，
当y=1，x=1-b，
∵点Q在抛物线上，
∴1=（1-b）²-4（1-b）+3，
解得：b=-1-$\sqrt{2}$，或b=-1+$\sqrt{2}$，
∵b＜0，
∴b=-1-$\sqrt{2}$，
∴直线PQ解析式为：y=x-1-$\sqrt{2}$，
当x=2时，y=1-$\sqrt{2}$，
∴点P坐标为（2，1-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，题目以二次函数为框架，考察全等三角形，一次函数的性质等知识点，题目的关键是根据全等三角形找出点Q的坐标特征，进而求出点Q的坐标．题目整体设计较难，考查学生的解决问题的能力．