Question

【题目】如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）能；BE=1或；（3）

【解析】

（1）由AB=AC得∠B=∠C，由△ABC≌△DEF得∠AEF=∠B，即得△ABE∽△ECM；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得∠AME＞∠AEF，则AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，根据对应边相等即可求得BE的长；当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，即可证得△CAE∽△CBA，根据对应边成比例即可求得BE的长；

（3）设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据对应边成比例即可表示出CM的长，从而可以表示出AM的长，根据二次函数的性质即可求得结果。