【题目】已知：如图，
，点
是
的中点，
平分
，
.
（1）求证：
；
（2）若
，试判断
的形状，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）△ABC为等边三角形
【解析】
（1）根据三线合一定理，得AD⊥BD，由角平分线的性质定理，得BE=BD，即可得到
，即可得到结论；
（2）由BE∥AC，则∠EAC=∠E=90°，由角平分线的性质，得到∠EAB=∠BAD=∠CAD=30°，则∠BAC＝60°，即可得到答案.
（1）证明：如图，
∵AB=AC ，点D是BC中点
∴AD⊥BD
∵AB平分∠DAE，AE⊥BE
∴BE=BD
∴
∴AD=AE；
（2）解：△ABC为等边三角形
∵BE∥AC
∴∠EAC=∠E=90°
∵AB=AC ，AD是中线
∴AD平分∠BAC
∵AB平分∠DAE
∴∠EAB=∠BAD=∠CAD=30°
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°
∵AB＝AC
∴△ABC是等边三角形.
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【题目】如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以CD为对角线的矩形CMDN（顶点字母按逆时针顺序），且面积为10，点M、N均在小正方形的顶点上；
（3）连接ME，并直接写出EM的长．
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【题目】如图，在直角三角形ABC中，
（1）过点A作AB的垂线与∠B的平分线相交于点D
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠A=30°，AB=2，则△ABD的面积为 ．
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【题目】如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作
把
作为点
的横、纵坐标．
【1】求点A（a，b）的个数；
【2】求点A（a，b）在函数
的图象上的概率．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点
，点
在直线上，点
是线段
上的一个动点，过点作
轴交直线
点
，设点的横坐标为
.
（1）
的值为 ；
（2）用含有的式子表示线段
的长；
（3）若
的面积为
，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；
（4）在（3）的条件下，把直线沿着
轴向下平移，交轴于点
，交线段
于点
，若点
的坐标为
，在平移的过程中，当
时，请直接写出点的坐标.
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【题目】如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
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【题目】某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品 | 甲 | 乙 |
进价（元/件） |
|
|
售价（元/件） | 200 | 100 |
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为
件（
），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为
元，求与之间的函数关系式，并求出的最小值．
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【题目】定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形；
（2）若△ABC是倍角三角形，
，∠B=30°，AC=
，求△ABC面积；
（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
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