Question

【题目】定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠A为36°，求证：△ABC 是锐角三角形；

（2）若△ABC是倍角三角形，，∠B=30°，AC=，求△ABC面积；

（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）△ADC是倍角三角形，证明见解析．

【解析】

（1）根据题意证明△ABC是等腰三角形，得出三个内角的度数，得证△ABC 是锐角三角形

（2）分两种情况讨论，①当∠B=2∠C②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，求出△ABC面积

（3）证明△ABD≌△AED，从而证明CE=DE，∠C=∠BDE=2∠ADC，△ADC是倍角三角形

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°

∴∠B=∠C=72°

∴∠A=2∠C

即△ABC是锐角三角形

（2）∵∠A>∠B>∠C，∠B=30°

①当∠B=2∠C,得∠C=15°

过C作CH⊥直线AB，垂足为H，

可得∠CAH=45°

∴AH=CH=AC=4．

∴BH=

∴AB=BH-AH=-4

∴S=

②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时，与∠A>∠B>∠C矛盾，故不存在。

综上所述，△ABC面积为

（3）∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD

∵AB=AE，AD=AD，

∴△ABD≌△AED．

∴∠ADE=∠ADB，BD=DE．

又∵AB+AC=BD，

∴AE+AC=BD，即CE=BD．

∴CE=DE．

∴∠C=∠BDE=2∠ADC．

∴△ADC是倍角三角形．