Question

8．点D是∠BAC的平分线上一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，连接BC交AD于点M．求证：
（1）BM=CM；
（2）BC⊥AD．

Answer 1

分析 （1）由D是∠BAC的平分线上一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，得到∠BAD=∠CAD，BD=CD，通过Rt△ABD≌Rt△ACD，得到AB=AC，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵D是∠BAC的平分线上一点，过点D作DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴AB=AC，
∴BM=CM，

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BC⊥AD．

点评 本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．