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【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+mx+n的图象经过点A(2,3),对称轴为直线x=1,一次函数y=kx+b的图象经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若PA:PB=3:1,求一次函数的解析式;

(3)在(2)的条件下,当k>0时,抛物线的对称轴上是否存在点C,使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切,如果存在,请求出点C的坐标,如果不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,点C的坐标为(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).

【解析】试题分析: (1)根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值,再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值,此题得解;

(2)根据P、A、B三点共线以及PA:PB=3:1结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标,再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式;

(3)假设存在,设出点C的坐标,依照题意画出图形,根据角的计算找出∠DCF=EPF,再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程,解方程求出r值,将其代入点C的坐标中即可得出结论.

试题解析:

解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,

∴﹣ =1,解得:m=

将点A(2,3)代入y=﹣ x2+ x+n中,

3=﹣1+1+n,解得:n=3,

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+3.

(2)∵P、A、B三点共线,PA:PB=3:1,且点A、B位于点P的同侧,

∴yA﹣yP=3yB﹣yP

又∵点P为x轴上的点,点A(2,3),

∴yB=1.

当y=1时,有﹣x2+x+3=1,

解得:x1=﹣2,x2=4(舍去),

∴点B的坐标为(﹣2,1).

将点A(2,3)、B(﹣2,1)代入y=kx+b中,

,解得:

∴一次函数的解析式y= x+2.

(3)假设存在,设点C的坐标为(1,r).

∵k>0,

∴直线AP的解析式为y=x+2.

当y=0时, x+2=0,

解得:x=﹣4,

∴点P的坐标为(﹣4,0),

当x=1时,y=

∴点D的坐标为(1, ).

令⊙与直线AP的切点为F,与x轴的切点为E,抛物线的对称轴与直线AP的交点为D,连接CF,如图所示.

∵∠PFC=∠PEC=90°,∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°,

∴∠DCF=∠EPF.

在Rt△CDF中,tan∠DCF=tan∠EPF= ,CD= ﹣r,

∴CD= CF= |r|= ﹣r,

解得:r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10.

故当k>0时,抛物线的对称轴上存在点C,使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切,点C的坐标为(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).

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