【题目】如图,抛物线y=﹣ x2+mx+n的图象经过点A(2,3),对称轴为直线x=1,一次函数y=kx+b的图象经过点A,交x轴于点P,交抛物线于另一点B,点A、B位于点P的同侧.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PA:PB=3:1,求一次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,当k>0时,抛物线的对称轴上是否存在点C,使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切,如果存在,请求出点C的坐标,如果不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,点C的坐标为(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).
【解析】试题分析: (1)根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值,再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值,此题得解;
(2)根据P、A、B三点共线以及PA:PB=3:1结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标,再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式;
(3)假设存在,设出点C的坐标,依照题意画出图形,根据角的计算找出∠DCF=∠EPF,再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程,解方程求出r值,将其代入点C的坐标中即可得出结论.
试题解析:
解:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,
∴﹣ =1,解得:m= .
将点A(2,3)代入y=﹣ x2+ x+n中,
3=﹣1+1+n,解得:n=3,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+3.
(2)∵P、A、B三点共线,PA:PB=3:1,且点A、B位于点P的同侧,
∴yA﹣yP=3yB﹣yP,
又∵点P为x轴上的点,点A(2,3),
∴yB=1.
当y=1时,有﹣x2+x+3=1,
解得:x1=﹣2,x2=4(舍去),
∴点B的坐标为(﹣2,1).
将点A(2,3)、B(﹣2,1)代入y=kx+b中,
,解得: ,
∴一次函数的解析式y= x+2.
(3)假设存在,设点C的坐标为(1,r).
∵k>0,
∴直线AP的解析式为y=x+2.
当y=0时, x+2=0,
解得:x=﹣4,
∴点P的坐标为(﹣4,0),
当x=1时,y= ,
∴点D的坐标为(1, ).
令⊙与直线AP的切点为F,与x轴的切点为E,抛物线的对称轴与直线AP的交点为D,连接CF,如图所示.
∵∠PFC=∠PEC=90°,∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°,
∴∠DCF=∠EPF.
在Rt△CDF中,tan∠DCF=tan∠EPF= ,CD= ﹣r,
∴CD= CF= |r|= ﹣r,
解得:r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10.
故当k>0时,抛物线的对称轴上存在点C,使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切,点C的坐标为(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB⊥AC,AB=3,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点,则AP+BP的最小值是 .
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE是中线,CG平分∠ACB交BE于点G,F为AB边上一点,且∠ACF=∠CBG.
(1)求证:CF=BG;
(2)延长CG交AB于点H,判断点G是否在线段AB的垂直平分线上?并说明理由.
(3)过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,请证明:CF=2DE.
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【题目】一个容量为50的样本中,数据的最大值是123,最小值是45,若取每组终点值与起点值的差为10,则该样本可以分( )
A.5组或6组
B.6组或7组
C.7组或8组
D.8组或9组
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