Question

7．如图所示．在等边△ABC中，△ABC的内切圆半径是3，则△ABC的周长为（　　）

• A． 9$\sqrt{3}$
• B． 18
• C． 18$\sqrt{3}$
• D． 54

Answer 1

分析 记△ABC的内切圆的圆心为O，连接OB、OD，先求得∠OBD和∠ODB的度数，然后依据勾股定理可求得BD的长，从而求得BC的长，最后可求得△ABC的周长．

解答 解：记△ABC的内切圆的圆心为O，连接OB、OD．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵圆O为等边△ABC的内切圆，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，OD⊥BD，BD=DC．
∴OB=2OD=6．
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴BC=6$\sqrt{3}$．
∴△ABC的周长=3×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆，解答本题主要应用了等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内心的性质，求得BD的长是解题的关键．