Question

已知a，b为实数，则a²+ab+b²-a-2b是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方

专题：计算题

分析：利用配方法先把二次式配成完全平方式得到a²+ab+b²-a-2b=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

b²-

3

2

b，再把含b的项配成完全平方式得到原式=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b-1）²-

3

4

然后把前面两项配成完全平方式得到原式=（a+

1

2

b-

1

2

）²+

3

4

（b-1）²-1，再利用非负数的性质求原式的最小值．

解答：解：存在最小值．
a²+ab+b²-a-2b=a²+ab+

1

4

b²-a-2b+

3

4

b²
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

b²-

3

2

b
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b²-2b）
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b²-2b+1）-

3

4

=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b-1）²-

3

4

=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

1

4

+

3

4

（b-1）²-1
=（a+

1

2

b-

1

2

）²+

3

4

（b-1）²-1，
∵（a+

1

2

b-

1

2

）²≥0，

3

4

（b-1）²≥0，
∴当a+

1

2

b-

1

2

=0且b-1=时，原式的值最小，
即a=0，b=1时，原式有最小值，最小值为-1．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．