Question

若x²+4x=1，则①x+

1

x

=

 

；②x²+x^-2=

 

；③x⁴+

1

x4

=

 

；④

x2

x4+x2+1

=

 

．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：

分析：（1）移项后两边都除以x，即可求出x-

1

x

，求出x²+

1

x2

的值，再根据完全平方公式求出即可；
（2）移项后两边都除以x，即可求出x-

1

x

，求出x²+

1

x2

的值即可；
（3）根据完全平方公式变形后，代入求出即可；
（4）先分子和分母都除以x²，再代入求出即可．

解答：解：∵x²+4x=1，
∴x²+4x-1=0，
∴x+4-

1

x

=0，
∴x-

1

x

=4，
∴（x-

1

x

）²=16，
∴x²-2+

1

x2

=16，
∴x²+

1

x2

=18，
（1）∵（x+

1

x

）²=x²+

1

x2

+2=18+2=20，
∴x+

1

x

=±2

5

，
故答案为：±2

5

；

（2）x²+x^-2=x²+

1

x2

=18，
故答案为：18；

（3）x⁴+

1

x4

=（x²+

1

x2

）²-2x²•

1

x2

=18²-2=322，
故答案为：322；

（4）

x2

x4+x2+1

=

1

x2+1+ 1 x2

=

1

18+1

=

1

19

，
故答案为：

1

19

．

点评：本题考查了对完全平方公式的灵活运用，注意：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²．