Question

13．如图，直线y=x+4与坐标轴交于点A、B，点C（-3，m）在直线AB上，在y轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求这个最小值及点P的坐标．

Answer 1

分析 求出点A和点C的坐标，作点C关于y轴的对称点D，连接AD交y轴于P，则此时PA+PC的值最小，根据一次函数图象上点的特征求出AD的长，用待定系数法求出直线AD的解析式，得到点P的坐标．

解答 解：∵点A在直线y=x+4上，
∴点A（-4，0），
∵点C（-3，m）在直线y=x+4上，
∴m=1，则点C（-3，1），
作点C关于y轴的对称点D，连接AD交y轴于P，则此时PA+PC的值最小，
点D的坐标为（3，1），
AD=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{7}}\\{b=\frac{4}{7}}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{4}{7}$，
∴点P的坐标为（0，$\frac{4}{7}$）．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的特征和轴对称--最短路线问题，正确确定PA+PC的值最小时，点P的位置是解题的关键．