Question

3．如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．
（1）求∠EAF的度数；
（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．
①求证：$\sqrt{2}$AD=AF+2DM；
②若AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，则MD的长为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先在BC上截取BG=BE，连接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△AEF≌△GCE，即可求出∠EAF的度数．
（2）①首先延长AF、CD交于点H，判断出∠FAD=45°，进而判断出四边形ABDH是平行四边形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位线，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD中，根据AH=$\sqrt{2}$AD，可推得$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．
②首先根据AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，$\sqrt{2}$AD=AF+2MD，可得$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD；然后根据AF∥DM，判断出△AFN∽△DMN，即可判断出$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，据此推得DN、MD的关系，求出MD的长为多少即可．

解答 （1）解：如图1，在BC上截取BG=BE，连接EG，
，
∵BG=BE，∠EBG=90°，
∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AE=GC，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠GCE+∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠GCE，
在△AEF和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GC}\\{∠AEF=∠GCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GCE，
∴∠EAF=∠CGE=135°，
即∠EAF的度数是135°．

（2）①证明：如图2，延长AF、CD交于点H，
，
由（1）知，∠EAF=135°，
∴∠FAD=135°-90°=45°，
∵∠ADB=45°，
∴AH∥BD，
又∵AB∥HD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴DH=AB=CD，
即D是CH的中点，
∴DM是△CFH的中位线，
∴FH=2DM，
在等腰直角三角形HAD中，
AH=$\sqrt{2}$AD，
∵AH=AF+FH=AF+2DM，
∴$\sqrt{2}$AD=AF+2DM．

②解：如图3，
，
∵AF=10$\sqrt{2}$，AN=12，$\sqrt{2}$AD=AF+2MD，
∴$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD，
∵AF∥DM，
∴△AFN∽△DMN，
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{AF}{DM}$，
即$\frac{12}{DN}=\frac{10\sqrt{2}}{DM}$，
∴DN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$MD，
把DN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$MD代入$\sqrt{2}$（12+DN）=10$\sqrt{2}$+2MD，
整理，可得
$\frac{6}{5}MD$+12$\sqrt{2}$=2MD+10$\sqrt{2}$，
解得MD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即MD的长为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．