Question

19．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于$\sqrt{74}$-3．

Answer 1

分析 作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值．

解答 解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（-2，3），
∴点A′坐标（-2，-3），
∵点B（3，4），
∴A′B=$\sqrt{（3+2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∴MN=A′B-BN-A′M=$\sqrt{74}$-2-1=$\sqrt{74}$-3，
∴PM+PN的最小值为$\sqrt{74}$-3．
故答案为$\sqrt{74}$-3．

点评 本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质．