Question

7．如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别落在x，y轴上，且OA=8，OC=4．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图②，把矩形OABC沿对角线AC折叠，使点B落在点D处，且CD交x轴于点E，连结OD，那么下列说法中正确的有①②③
①△EDA≌△EOC；②∠ECA=∠EAC；③OD∥AC；④△COD是等腰三角形；⑤CD平分∠ACO
（3）求出图②中点E坐标；
（4）计算说四边形ODAC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据OA和OC的长即可直接写出点的坐标；
（2）根据折叠的性质即可判断；
（3）证明△COE≌△ADE，得到EC=EA，在直角△OEC中，利用勾股定理即可列方程求解；
（4）过点D作DF⊥OA于点F，根据S_{四边形ODAC}=S_△AOC+S_△AOD即可求解．

解答 解：（1）A的坐标是（8，0），B的坐标是（8，4），C的坐标是（0，4）；
（2）正确的是：①②③；
（3）∵AB=AD，AB=OC，
∴AD=CO，
在△COE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CEO}\\{∠COE=∠ADE}\\{AD=CO}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△ADE，
∴EC=EA，
设OE=x，则EC=EA=8-x，
在直角△OEC中，OE²+OC2=EC²，x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
即E的坐标是（3，0）．
（4）过点D作DF⊥OA于点F，则DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=2.4，
则S_{四边形ODAC}=S_△AOC+S_△AOD=$\frac{8×4}{2}$+$\frac{8×2.4}{2}$=16+9.6=25.6．

点评 本题考查了图形折叠的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确理解折叠的性质，利用勾股定理求得OE的长是关键．