Question

如图，AB是⊙O的直径，AC=BD，∠COD=60°．求证：
（1）

AD

=

BC

；
（2）△AOC是等边三角形；
（3）OC∥BD．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,平行线的判定,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）由圆周角、弧、弦的关系进行证明即可；
（2）欲证明△AOC是等边三角形，只需证得等腰△AOC的一内角为60度即可；
（3）通过△OBD的等边三角形得到∠OBD=∠AOC=60°，则由“同位角相等，两直线平行”证得结论．

解答：证明：（1）如图，∵AC=BD，
∴

AC

=

BD

，
∴

AC

+

CD

=

BD

+

CD

，即

AD

=

BC

；

（2）∵AC=BD，
∴∠AOC=∠BOD
∵∠COD=60°
∴∠AOC=∠BOD=60°，
又∵OC=OA
∴△AOC是等边三角形；

（3）由（2）知，∠AOC=∠BOD=60°，
又∵OD=OB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠OBD=∠AOC=60°，
∴OC∥BD．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定以及等腰三角形的性质．此题利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”证得图形中的三角形为等边三角形．