Question

2．定义：直线y=ax+b（a≠0）称作抛物线y=ax²+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，则该抛物线的顶点坐标为（-1，-1）；
（2）求证：抛物线y=ax²+bx与其关联直线一定有公共点；
（3）当a=1时，请写出抛物线y=ax²+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）．

Answer 1

分析 （1）得出抛物线的解析式，化成顶点式即可求得；
（2）联立方程得出ax²+bx=ax+b，整理成ax²+（b-a）x-b=0，根据△=（b-a）²+4ab=（a+b）²≥0，得出结论；
（3）根据抛物线y=x²+bx和直线y=x+b的特征即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，
∴抛物线为y=x²+2x，
∵y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
故答案为（-1，-1）；
（2）证明：∵抛物线y=ax²+bx与y=ax+b相交，
∴ax²+bx=ax+b，
整理得，ax²+（b-a）x-b=0，
∵△=（b-a）²+4ab=（a+b）²≥0，
∴抛物线y=ax²+bx与其关联直线一定有公共点．
（3）①抛物线y=x²+bx与其关联直线恒过点（1，1+b）；
②抛物线y=x²+bx与其关联直线恒过点（-b，0）；
③抛物线y=x²+bx与其关联直线恒有一个交点在x轴上；
④当x≥-b/2时，抛物线y=x²+bx与其关联直线均是从左到右呈上升趋势；

点评 本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．