Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+4，0），线段AB的中点为C，若平面内存在一点P使得∠APC或者∠BPC为直角（点P不与A，B，C重合），则称P为线段AB的直角点．

（1）当t=0时，

①在点P1（，0），P2（，），P3（，﹣）中，线段AB的直角点是　 　；

②直线y=x+b上存在四个线段AB的直角点，直接写出b取值范围；

（2）直线y=x+1与x，y轴交于点M，N．若线段MN上只存在两个线段AB的直角点，直接写出t取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①， ②或 （2）或

【解析】

（1）由线段AB的直角点定义可求解；

（2）由圆周角定理可得点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，求出直线y=x+b过点C时，b的值和直线y=x+b与以BC为直径或AC为直径的圆相切时，b的值，即可求解．

（3）由题意可得以BC为直径或AC为直径的圆与线段MN的交点只有两个，利用特殊位置可求解．

解：（1）①当t=0时，则点A（0，0），点B（4，0），

∵点C是AB中点，

∴点C（2，0），

∴AC=BC=2，

∵AP12+CP12=+≠AC2=4，

∴点P1不是线段AB的直角点；

∵AP22+CP22=+++=4=AC2=4，

∴∠AP2B=90°，

∴点P2是线段AB的直角点，

∵CP32+BP32=+++=4=BC2=4，

∴∠CP3B=90°，

∴点P3是线段AB的直角点，

故答案为：P2，P3；

②∵∠APC或者∠BPC为直角，

p>∴点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，

如图，当直线y=x+b与以AC为直径的圆相切时，直线y=x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即存在三个线段AB的直角点，

设切点为F，以AC为直径的圆的圆心为E，直线y=x+b与x轴交于点H，连接EF，

∵直线y=x+b与以AC为直径的圆相切，

∴EF⊥FH，

∵直线y=x+b与x轴所成锐角为30°，

∴EH=2EF=2，

∴点H（3，0），

∴0=×3+b，

∴b=﹣，

同理可得，当直线y=x+b与以BC为直径的圆相切时，b=﹣，

当直线y=x+b过点C时，直线y=x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有三个交点，即直线y=x+b上存在三个线段AB的直角点，

∴0=+b，

∴b=﹣，

∴当﹣＜b＜﹣或﹣＜b＜﹣时，直线y=x+b与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有四个交点，即直线y=x+b上存在四个线段AB的直角点，

（2）∵直线y=x+1与x，y轴交于点M，N，

∴点N（0，1），点M（﹣，0），

如图，当直线y=x+1与以BC为直径的圆相切于点F，设BC为直径的圆的圆心为E，连接EF，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，

∵A（t，0），B（t+4，0），点C是线段AB的中点，

∴AB=4，AC=BC=2，

∵直线y=x+1与以BC为直径的圆相切于点F，

∴EF⊥MN，

∵∠NMB=30°，

∴ME=2EF=2，

∴点E（﹣+2，0），

∴点A（﹣﹣1，0），

∴t=﹣﹣1

当直线y=x+1与以AC为直径的圆相切时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有3个交点，即线段MN上存在3个线段AB的直角点，

同理可求：t=1﹣，

当点A与点M重合时，此时线段MN与以AC为直径的圆和以BC为直径的圆有两个交点，即线段MN上存在两个线段AB的直角点，

∴当﹣＜t＜1﹣或t=﹣﹣1时，线段MN上只存在两个线段AB的直角点．

【点晴】

本题考查了一次函数的综合应用，角的计算，圆周角定理以及切线的性质；解题的关键是懂得点P在以BC为直径或AC为直径的圆上，以此来解决此题，此题综合性较强，与切线的性质练习较大，在日常练习中应加强训练．