Question

15．如果抛物线y=ax²+bx+c，过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）请你写出一条定点抛物线的一个解析式为y=x²-2x+2．
（2）已知定点抛物线y=-x²+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；
（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=-1，进而得出抛物线的解析式．

解答 解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，
根据顶点式得：y=x²-2x+2；
故答案为y=x²-2x+2；
（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b²+1），且-1+2b+c+1=1，
∴c=1-2b，
∵顶点纵坐标c+b²+1=2-2b+b²=（b-1）²+1，
∴当b=1时，c+b²+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x．

点评 本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．