Question

20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D．
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线．
（2）在△ABC中，哪条边所在的直线是△BDC的外接圆的切线？为什么？
（3）若AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，2.4cm为半径作⊙C，判断⊙C与直线AB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得出∠ADC=∠BDC=90°，由圆周角定理得出AC是△ADC的外接圆的直径，再由BC⊥AC，即可得出BC是△ADC的外接圆的切线．
（2）同（1）得出BC是△BDC的外接圆的直径，由AC⊥BC，即可得出AC是△BDC的外接圆的切线；
（3）由勾股定理求出AB，由三角形面积的计算方法求出CD＞⊙C的半径，即可得出⊙C与直线AB相离．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB于点D．
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴AC是△ADC的外接圆的直径，
∵∠ACB=Rt∠，
∴BC⊥AC，
∴BC是△ADC的外接圆的切线．
（2）解：AC所在的直线是△BDC的外接圆的切线；理由如下：
∵∠BDC=90°，
∴BC是△BDC的外接圆的直径，
∵AC⊥BC，
∴AC是△BDC的外接圆的切线；
（3）解：⊙C与直线AB相离；理由如下：
∵AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13cm，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$＞2.4，
∴⊙C与直线AB相离．

点评 本题考查了切线的判定定理、直线与圆的位置关系、勾股定理、三角形面积的计算、圆周角定理等知识；本题综合性强，难度不大，由圆周角定理证出直径是解决（1）（2）的关键．