Question

如图，AB=AC=4，以AC为直径的半圆⊙0交BC于点D，交AB于点G，DE⊥AB于点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F，BE=1．
（1）求证：直线EF是半圆⊙O的切线；
（2）求sinF的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接OD，如图，由AB=AC得∠B=∠ACB，由OC=OD得∠OCD=∠ODC，则∠ODC=∠B，于是可判断OD∥AB，而DE⊥AB，所以DE⊥OD，然后根据切线的性质得到直线EF是半圆⊙O的切线；
（2）设FC=x，证明△FOD∽△FAE，利用相似比得到

2

3

=

x+2

x+4

，解得x=2，则FA=FC+AC=6，然后根据正弦的定义求解．

解答：（1）证明：连接OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴直线EF是半圆⊙O的切线；
（2）解：设FC=x，
∵AB=AC=4，BE=1，
∴AE=3，OD=2，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

2

3

=

x+2

x+4

，
解得x=2，
∴FA=FC+AC=2+4=6，
∴sin∠F=

AE

AF

=

3

6

=

1

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了锐角三角形函数和相似三角形的判定与性质．