Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=

k

x

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，连接OM、ON、MN．若∠MON=45°，MN=2，则反比例函数的解析式为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：由反比例函数y=

k

x

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，易证得CN=AM，即可得△OAN≌△OAM，可得ON=OM，然后设作NE⊥OM于E点，易得△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则ON=

2

x，由勾股定理可求得x的值，继而可设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-

2

，则可得到点N的坐标，继而求得答案．

解答：解：∵点M、N都在y=

k

x

的图象上，
∴S_△ONC=S_△OAM=

1

2

k，即

1

2

OC•NC=

1

2

OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
在△OCN和△OAM中，

OC=OA ∠OCN=∠OAM CN=AM

，
∴△OCN≌△OAM（SAS）；
∴ON=OM，
作NE⊥OM于E点，如图，
∵∠MON=45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE=OE，
设NE=x，则ON=

2

x，
∴OM=

2

x，
∴EM=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN²=NE²+EM²，即2²=x²+[（

2

-1）x]²，
∴x²=2+

2

，
∴ON²=（

2

x）²=4+2

2

，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN=

2

2

MN=

2

，
设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a-

2

，
∵在Rt△OCN中，OC²+CN²=ON²，
∴a²+（a-

2

）²=4+2

2

，
解得a₁=

2

+1，a₂=-1（舍去），
∴OC=

2

+1，
∴BC=OC=

2

+1，
∴CN=BC-BN=1，
∴N点坐标为（1，

2

+1），
将点N代入反比例函数y=

k

x

，得：k=

2

+1，
∴反比例函数的解析式为：y=

2 +1

x

．
故答案为：y=

2 +1

x

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．