Question

11．如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S_△PAB=S_△ABD，请求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）²-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根据三角形面积公式可得点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，而D的坐标为（1，-4），所以点P的纵坐标一定为4．将y=4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）²-4，
又∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=a（0-1）²-4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）∵S_△PAB=S_△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．
令y=4，则x²-2x-3=4，
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$．
∴点P的坐标为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．