Question

【题目】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图，在中，CD为角平分线，，，求证：CD为的完美分割线．

（2）如图，中，，，CD是的完美分割线，且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

（3）在中，，CD是的完美分割线，且为等腰三角形，直接写出∠ACB的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）96°或114°

【解析】

（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可；

（2）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，列出方程即可解决问题；

（3）分三种情形讨论即可：①如图a，当AD=CD时，②如图b中，当AD=AC时，③如图c中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．

（1）证明：∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，

∴∠ACD=∠A=40°，

∴△ACD为等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割线；

（2）解：由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴

设BD=x，

∴，

∵x＞0，

∴x=，

∵△BCD∽△BAC，

∴，即，

∴CD=．

（3）解：①当AD=CD时，如图a，

∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°，

②当AD=AC时，如图b中，

∠ACD=∠ADC==66°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°；

③当AC=CD时，如图c中，∠ADC=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．

综上所述，∠ACB=96°或114°；