Question

【题目】如图，若m是正数，直线l：y＝－m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝ x2+mx的顶点为C，且L与x轴左交点为D．

（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点Ｐ使得△的周长最小，求点Ｐ坐标；

（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；

（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．

Answer 1

【答案】（1）P（－3，3 ）；（2）点C与l距离的最大值为1；（3）m＝2020时“美点”的个数为4042个，m＝2020.5时“美点”的个数为1011个

【解析】

解：（1）求出A、B点坐标，分别为A（0，－m）、B （0，m），又AB＝8，而可得到m－（﹣m）＝12，即可求出m.又知Ｏ、Ｄ两点关于对称轴对称时，即OP=DP时，OB+OP+PB=OB+DP+PB 当B、P、D三共线时△周长最短，求出P点坐标即可.

（2）将二次函数转为顶点式，y＝（x+ ）2－，写出顶点坐标C

C与l的距离≤1，据此可判断出最大距离.

（3）分别求出当m＝2020时，与当m＝2020.5时，利用抛物线解析式与直线解析式求出交点坐标，求出两种情况下的的美点个数即可，注意分类讨论。

解：（1）当x＝0吋，y＝x+m＝m，

∴B （0，m），

∵AB＝8，而A（0，－m），

∴m－（﹣m）＝12，

∴m＝6．

∴L：y＝x2+6x，

∴L的对称轴x＝－3，

又知Ｏ、Ｄ两点关于对称轴对称，则OP=DP

∴OB+OP+PB=OB+DP+PB 当B、P、D三共线时△周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝－3吋，y＝x+6＝3，

∴P（－3，3 ）

（2）y＝（x+ ）2－，

∴L的顶点C

∵点C在l上方，

∴C与l的距离≤1，

∴点C与l距离的最大值为1

（3）当m＝2020时，共有4042个美点，当m＝2020.5时，共有1011个美点。

①当m＝2020时，抛物线解析式L：y＝x2+2020x

直线解析式a：y＝x+2020

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，

∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣2020和1之间（包括﹣2020和1）共有2022个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，

∴线段和抛物线上各有2022个整数点

∴总计4044个点，

∵这两段图象交点有2个点重复重复，

∴美点”的个数：4044﹣2＝4042（个）；

②当m＝2020.5时，

抛物线解析式L：y＝x2+2020.5x，

直线解析式a：y＝x+2020.5，

联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，

∴当x取整数时，在一次函数y＝x+2020.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数y＝x2+2020.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，

可知﹣2020.5到1之间有1010个偶数，并且在﹣2020.5和1之间还有整数0，验证后可知0也符合

条件，因此“美点”共有1011个．

故m＝2020时“美点”的个数为4042个，m＝2020.5时“美点”的个数为1011个