Question

3．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，按要求在这个直角三角形中完成一下的画图并证明：
（1）画出∠C的角平分线，交AB于点D；
（2）延长BC到点E，使CE=AC，连接AE；
（3）求证：AE∥CD．

Answer 1

分析 （1）首先以C为圆心，小于AC长为半径画弧，两弧交AC、BC于N、M，再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN长为半径画弧，两弧交于点H，画射线CH交AB于D；
（2）根据要求画图即可；
（3）首先根据角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，再证明∠E=45°，根据同位角相等，两直线平行可得结论．

解答 （1）解：如图所示：

（2）解：如图所示：

（3）证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∴∠E=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∴AE∥DC．

点评 此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是掌握角平分线的做法，平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．