Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD为边上的高，将△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，延长EA交⊙O于点P，连接FC，交AB于N．
（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠ACF；
（2）求证：EF=DB；
（3）若AD=5，CD=10，CB∥AF，求点F到AB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，∵△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，

∴∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，

∵∠F=∠ABC，

∴∠BAC=∠ABC+∠ACF．

（2）在△CEF和△CDB中，

∴△CEF≌△CDB，

∴EF=BD．

（3）由四边形AECD，可证得∠BAF=∠ECD=2∠ACD，

取AC中点H作HG⊥AC，交CE于点G，则GC=GA，

∴∠EGA=2∠GCA=∠ECD，

设GC=GA=x，则EG=10﹣x，

在Rt△AEG中，52+（10﹣x）2=x2，

∴x= ，

∴tan∠EGA= ，

∵BC∥AF，

tanB=tan∠BAF= ，

设AF=a，BD=EF=5+a

tanB= = = ，

∴a= ，

在Rt△AMF中，∵tan∠FAM= = ，AF= ，

∴FM=2．

【解析】（1）由△ADC沿直线AC翻折得到△AEC，可得∠BAC=∠EAC=∠ACF+∠F，又∠F=∠ABC，即可推出∠BAC=∠ABC+∠ACF；（2）只要证明△CEF≌△CDB，即可推出EF=BD；（3）首先证明tan∠EGA=tanB=tan∠BAF= ，设AF=a，BD=EF=5+a，构建tanB= = = ，推出a= ，在Rt△AMF中，构建tan∠FAM= = ，即可推出AF= ，即可解决问题；