Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n， ），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意：a=4．

①当t＞2时，h=t﹣1，

则4（t﹣1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；

当t＜1时，h=2﹣t，

则4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故点P 的坐标为（0，﹣1）；

②∵根据题意得：h的最小值为：1，

∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4

（2）

解：①∵E，F，M三点的“矩面积”为8，

∴a=4，h=2，

∴ ．

∴0≤m≤ ．

∵m＞0，

∴0＜m≤ ；

②∵当n≤4时，a=4，h= ，此时S=ah= ，

∴当n=4时，取最小值，S=16；

当4＜n＜8时，a=n，h= ，此时S=ah=16；

当n≥8时，a=n，h=2，此时S=ah=2n，

∴当n=8时，取最小值，S=16；

∴E，F，N三点的“矩面积”的最小值为16，此时n的取值范围为4≤n≤8

【解析】（1）①首先由题意：a=4，然后分别从①当t＞2时，h=t﹣1，当t＜1时，h=2﹣t，去分析求解即可求得答案；②首先根据题意得：h的最小值为：1，继而求得A，B，P三点的“矩面积”的最小值．（2）①由E，F，M三点的“矩面积”的最小值为8，可得a=4，h=2，即可得 ．继而求得m的取值范围；②分别从当n≤4时，a=4，h= ，当4＜n＜8时，a=n，h= ，当n≥8时，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案．