Question

【题目】如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y= x+n交于点A（2，2），直线y= x+n与y轴交于点B与x轴交于点C

（1）求n的值及抛物线的解析式
（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标
（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A（2，2）代入 得n=1

设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4代入点A（2，2），可得a=﹣2

所以抛物线的解析式y=2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2

（2）

解：如图1．

设PP'与AC的交点为H，

作HM⊥x轴于M，作PN⊥HM与N

设 ，

∵点P'是点P关于AC的对称点，

∴PH=P'H，

易得，△HNP≌△HMP'，

∴MH=NH，

∴NM=2NH，

∴﹣2x2+4x+2=m+2，

∴m=﹣2x2+4x①

∵直线AC的解析式为y= x+1，

∴B（0，1），C（﹣2，0），

∴OB=1，OC=2，

∵OB∥HM，

∴△COB∽△CMH，

∴ ，

∴CM=2MH，

易证，△HMP'∽△CMH，

∴ ，

∴ = ，

∴MH=2P'M=2PN

∴ ，

∴4x=3m﹣2②

联立①②解得x=1或 ，

∴点P的坐标（1，4）或

（3）

解：设点E坐标为A（t，0），以AB为边或对角线进行分类讨论：

①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB∥DE，AB=DE

由于点B（0，1）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A（2，2），

∴点D的坐标可以表示为D（t+2，1）

将D（t+2，1）代入y=2（x﹣1）2+4，得﹣2（t+1）2+4=1

解得 ，

此时 或 ，

②当AB是平行四边形的对角线时，

设AB的中点 ，点E（t，0），

关于 的对称点D的坐标可以表示为（2﹣t，3）

将D（2﹣t，3）代入y=﹣2（x﹣1）2+4，得﹣2（1﹣t）2+4=3

解得 ，

∴ 或 ．

【解析】（1）利用待定系数法先求出n的值，进而求出抛物线解析式（2）先利用对称性判断出MN=2NH，进而建立方程化简得到m=﹣2x2+4x①，再判断出△COB∽△CMH和△HMP'∽△CMH，判断出MH=2PN，进而建立方程化简得出4x=3m﹣2②联立方程组求解即可；（3）分AB为平行四边形的对角线和边即可得出点E的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．