Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．

（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OE//BC，

∴OE⊥AC，

∴ = ，

∴∠1=∠2，

∴BE平分∠ABC

（2）

解：∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD=90°，

∵∠ACB=90°，BH=BD=2，

∴∠CBD=∠2，

∴∠1=∠2=∠CBD，

∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，

∵∠ABD=90°，

∴AB=2 ，OB= ，

∵OD2=OB2+BD2，

∴OD= ．

【解析】（1）根据切线的性质得到∠ACB=90°，根据平行线的性质得到OE⊥AC，根据垂径定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到∠ABD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠2，解直角三角形即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．