Question

9．如图，菱形ABCD中，∠ABC＜90°，P为该菱形对角线BD上一动点，Q为BC边上一动点，若AC=30，PC+PQ的最小值为24，求菱形ABCD的边长（要求在备用图中画出必要的图形）

Answer 1

分析 菱形ABCD中，由点A，C关于BD对称，过A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，于是得到AQ=PC+PQ的最小值=24，根据勾股定理得到CQ=$\sqrt{A{C}^{2}-A{Q}^{2}}$=18，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵菱形ABCD中，
∴点A，C关于BD对称，
过A作AQ⊥BC于Q，交BD于P，
则AQ=PC+PQ的最小值=24，
∵AC=30，
∴CQ=$\sqrt{A{C}^{2}-A{Q}^{2}}$=18，
∵AB=BC，
∴BQ=AB-18，
∵AB²=BQ²+AQ²，
即AB²=（AB-18）²+24²，
∴AB=25．
∴菱形ABCD的边长=25．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．