Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．
（1）若AD平分∠BAC，求证：EF=CF．
（2）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接写出C，E两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）先证明Rt△AED≌Rt△ACD，得到∠ADE=∠ADC，再证明△EDF≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可解答；
（2）根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，即可解答；
（3）根据∠AED=90°，∠ACD=90°，可得点A，E，D，C四点共圆，所以求出∠EFC=2∠BAC=90°，由（2）可知，EF=CF=$\frac{1}{2}$AD=3，再根据勾股定理，即可解答．

解答 解：（1）∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△AED≌Rt△ACD，
∴∠ADE=∠ADC，
在△EDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{∠EDF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF．
（2）EF=CF，
 在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是线段AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，CF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF=CF．
（3）连接CE，如图，

∵∠AED=90°，∠ACD=90°，
∴点A，E，D，C四点共圆，
∴AD为圆的直径，
∵点F是线段AD的中点，
∴点F为圆心，
∴∠EFC=2∠BAC=90°，
由（2）可知，EF=CF=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．