Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-$\frac{3}{16}a{x}^{2}$+$\frac{5}{8}ax$+3a（a≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，且OB=OC．
（1）求a的值；
（2）点D为OB中点，点E为OC中点，点F在y轴的负半轴上，点G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若FD=DG，且S_△GED=$\frac{27}{2}$，求点G的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在线段OB上，点Q在线段OC的延长线上，且CQ=BP．连接PQ和BC交于点M，连接GM并延长GM交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB时，求线段NQ的长．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得点A、B的坐标，将x=0代入抛物线的解析式得求得点C（0，3a），然后根据OB=0C可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接GB．首先依据SAS证明△ODF≌△GDB，从而得到BG=OF，接下来依据S_△GED=$\frac{27}{2}$可求得EF的长，从而得到BG的长，故此可得到点G的坐标；
（3）过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R．先证明TP=PB=CQ，然后依据ASA证明△PTM≌△QCM，于是可得到PM=QM，然后再证明△NMQ≌△GMP，于是得到NQ=GP，然后再△QNR≌△GPB，从而可求得NR=OR，设N（t，-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6），由NR=OR列出关于t的方程，从而可求得NR的值，最后在Rt△NRQ中，依据勾股定理可求得QN的值．

解答 解：（1）将y=0代入得：-$\frac{3}{16}a{x}^{2}$+$\frac{5}{8}ax$+3a=0，
∵a≠0，
∴$-\frac{3}{16}$x²+$\frac{5}{8}$x+3=0．
解得：x₁=-$\frac{8}{3}$，x₂=6．
∴A（-$\frac{8}{3}$，0）、B（6，0）．
∴0B=6．
∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=3a，
∴C（0，3a）．
∴OC=3a．
∵OB=0C，
∴3a=6．
解得：a=2．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{5}{4}$x+6．
（2）如图1所示：连接GB．

∵E、D分别是OC、0B的中点，
∴OE=3，OD=BD．
在△ODF和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=BD}\\{∠ODF=∠BDG}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴△ODF≌△GDB．
∴BG=OF，∠GBD=∠FOD=90°．
∵S_△EDG=S_△EFG-S_△EFD，
∴$\frac{1}{2}$EF•OB-$\frac{1}{2}$EF•OD=$\frac{27}{2}$，即3EF-$\frac{3}{2}$EF=$\frac{27}{2}$，解得：EF=9．
∴OF=EF-OE=9-3=6．
∴BG=6．
∴G（6，6）．
（3）如图2所示：过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R．

∵TP∥OQ，
∴∠MPT=∠MQC，∠PTM=∠QCM，
∵OB=0C=6，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠PBT=∠PTB=45°，
∴PT=PB=CQ，
在△PTM和△QCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPT=∠MQC}\\{PT=CQ}\\{∠PTM=∠QCM}\end{array}\right.$，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM=QM，
∵GB⊥x轴，
∴BG∥y轴∥PT，
∴∠BGP=∠TPG．
∵∠QPG-∠NQO=∠NQP-∠PGB，
∴∠QPT+∠TPG-∠NQO=∠NQO+∠OQP-∠PCB，
∵∠QPT=∠OQP，∠TPG=∠PGB，
∴2∠TPG=2∠NQO，
∴∠TPG=∠NQO，
∴∠NQP=∠GPQ，
在△NMQ和△GMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NQP=∠GPQ}\\{∠NMQ=∠GMP}\\{MQ=MP}\end{array}\right.$，
∴△NMQ≌△GMP．
∴NQ=GP．
在Rt△QNR和Rt△GPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGP=∠NQO}\\{∠QRN=∠GBP=90°}\\{NQ=GP}\end{array}\right.$，
∴△QNR≌△GPB．
∴QM=BG=6，NR=PB=CQ．
设N（t，-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6）．
∵QO=QC+C0=QR+RO，
∴QC=RO，
∴NR=RO，
∴-t=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{5}{4}$t+6，解得：t₁=-2，t₂=8（舍去）．
∴NR=2．
在Rt△NRQ中，NQ=$\sqrt{N{R}^{2}+Q{R}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴线段NQ的长为2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，函数图象与坐标轴的交点，证得△PTM≌△QCM、△NMQ≌△GMP、△QNR≌△GPB，从而可求得NR=OR，然后依据NR=OR列出关于t的方程是解题的关键．