Question

19．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．
（2）填空：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）①根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出结果；
②根据菱形的性质得到AN=DN，证得△ADN为等边三角形，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，
∵点E是AD中点，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}\\{∠DNE=∠AME}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）①AM=1时，四边形AMDN是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠DMA=90°，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1；
②当AM=2时，四边形AMDN是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是菱形，
∴AN=DN，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADN=60°，
∴△ADN为等边三角形，
∴AM=DN=AD=2．

点评 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形全等与证明等边三角形是解决问题的关键．