Question

【题目】阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．

根据以上结论，解决以下问题：

(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____；

(2)应用：

①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴， 连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1；2；（2）P(2，2)；周长最小8；（3）（-2，0）、（2，0）或（6，4）．

【解析】

（1）根据题意给的定义直接代入计算即可．

（2）①设出坐标点，根据第一问得出的结论直接应用．

②利用①的思路，设出坐标点P，再根据完全平方公式变形即可，求出P点坐标再求出Q点，即可根据平行四边形性质求出C点坐标．

（1）根据题意知a=时最小，又∵a>0，∴a=1，则a+=2．

（2）①设点P(x，)，（x>0）；则四边形OAPB周长为2（x+），

当x=时，x=2，此时2（x+）有最小值8，即周长最小为8，此时点P(2，2)．

②设点P(x，)，（x>0）；OP==，

OP最小，即x+最小，所以x=，即x=2，∴点P（2，2）；

由点P（2，2），即可知Q点纵坐标是2，带入y=(x>0)得点Q（4，2）；

所以由O，P，Q三点坐标，要使OPQC四点能构成平行四边形，则点C坐标为：

（-2，0）、（2，0）或（6，4）．