Question

【题目】问题背景：某数学兴趣小组把两个等腰直角三角形的直角顶点重合，发现了一些有趣的结论．

结论一：

（1）如图1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE，试说明△ADB≌△AEC；

结论二：

（2）如图2，在（1）的条件下，若点E在BC边上，试说明DB⊥BC；

应用：

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，连接BD，BD＝7cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝24.5（cm2）．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定SAS进行证明即可得到答案；

（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理进行计算，即可得到答案；

（3）作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，根据三角形内角和和全等三角形的判定定理（ASA），即可得到答案.

（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAE+∠CAE＝∠BAE+∠BAD，

∴∠CAE＝∠BAD，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）；

（2）由（1）得△ADB≌△AEC，

∴∠C＝∠ABD，

又∵∠ABC+∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ABD＝90°，

∴DB⊥BC；

（3）作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，

∵BE⊥BD，

∴∠CBE+∠DBC＝90°，

又∵∠ABD+∠DBC＝90°，

∴∠ABD＝∠EBC，

∵∠BAD+∠BCD＝180°，

∠BCE+∠BCD＝180°，

∴∠BAD＝∠BCE，

又∵BA＝BC，

∴△BAD≌△BCE（ASA），

∴BD＝BE，且S△BAD＝S△BCE，

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC

＝S△BCE+S△BCD

＝S△BDE

＝×7×7＝24.5（cm2）．