Question

4．如图，已知等边△ABC内接于圆，圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在劣弧AB上取异于A、B的点M．如果设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，则线段AK•BN的值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由条件可证明△ABK∽△BNA，根据相似三角形的性质可得AK•BN=AB²，再由圆的半径求得AB的长，可求得答案．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°，
又∵∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴$\frac{AB}{BN}$=$\frac{AK}{AB}$，
∴AK•BN=AB²，
如图，设圆心为O，过O作OD⊥AB于点D，连接OA，
则OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由直角三角形的性质可得OD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由勾股定理可得AD=$\frac{3}{4}$，
∴AB=2AD=$\frac{3}{2}$，
∴AK•BN=AB²=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件证明三角形相似得到AK•BN=AB²是解题的关键．