Question

13．如图：在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x-4与坐标轴交于A、B两点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图：将△AOB关于x轴对称得到△AOB′，再将△AOB′沿着x轴向右平移m个单位得到△A″O″B″，且直线AB″交y轴于点D
①当S_△ADB=S_△AOD时，求m的值；
②当点D到直线OA，AB的距离相等时，求m的值．（请结合备用图，自己作图并求解）

Answer 1

分析 （1）根据y=$\frac{4}{3}$x-4，令x=0，得到y=-4；令y=0，得到x=3，即可解答；
（2）①当S_△ADB=S_△AOD时，即D为OB的中点，确定D（0，-2），利用待定系数法求出直线AD的解析式y=$\frac{2}{3}$x-2，由已知得B′（O，4），所以B″（m，4），代入解析式可得$\frac{2}{3}$m-2=4，解得m=9；
②分两种情况解答：当D在y轴负半轴时，；当点D在y轴正半轴；分别求出直线AD的解析式，把B″（m，4）代入解析式，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵y=$\frac{4}{3}$x-4，
∴令x=0，得到y=-4；令y=0，得到x=3，
则A（3，0），B（0，4）；
（2）①∵S_△ADB=S_△AOD，
∴D是OB中点，
∴D（0，-2），
又∵A（3，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴直线AD：y=$\frac{2}{3}$x-2，
由已知得B′（O，4），
∴B″（m，4），
∴$\frac{2}{3}$m-2=4，
解得：m=9；
②当D在y轴负半轴时，
在Rt△OAB中，根据勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A^2}+O{B^2}}$=$\sqrt{{3^2}+{4^2}}$=5，
如图1，过D作DE⊥AB，

设OD=DE=a，
∴OB=4-a，
在Rt△OAD和Rt△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△OAD≌Rt△EAD，
∴AE=OA=3，
∴BE=5-3=2，
在Rt△DBE中，根据勾股定理得：DE²+BE²=BD²，
∴a²+2²=（4-a）²，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
又∵D在y轴负半轴，
∴D（0，-$\frac{3}{2}$），
∴直线AD：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
把B″（m，4）代入得m=11；
当点D在y轴正半轴，
如图2，过点D作DF⊥AB于F，

设OD=DF=b，
∴BD=4+b，
在Rt△ADO和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ADO≌Rt△ADF，
∴AF=OA=3，
∴BF=3+5=8，
在Rt△BDF中，根据勾股定理得：DF²+BF²=BD²，即b²+8²=（4+b）²，
解得：b=6，
∵D在y轴正半轴
∴D（0，6），
∴直线AD：y=-2x+6，
∴B″（m，4），
代入得m=1，
∴m=11或1．

点评 本题考查一次函数、全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求直线AD的解析式，在（2）中解答②时，注意分类讨论思想的应用．