Question

8．已知点A（2，0），点B（1，0），P是直线y=x上一动点，连接PA，PB，若PA+PB的值最小时，P点的坐标是（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 先作出点B关于直线y=x的对称点B′，再连接AB′，求出直线A′B的函数解析式，再联立直线y=x列方程组即可求解．

解答 解：如图，作点B关于直线y=x的对称点B′，
则PB=PB′，
故PA+PB=PB′+PA，
由图知，只有当A、P、B′共线时，PA+PB最小，
又由B与B′关于y=x对称知，B′（0，1），
由A、B′两点坐标得AB′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{2}{3}$，
故当PA+PB最小时，P的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案为（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数和方程组的知识，两点之间线段最短是解题的关键．