Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CD=3，BD=2 ，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵AC⊥BD，AB=AD，

∴BO=DO，

在△AOD与△COB中， ，

∴△AOD≌△COB，

∴AO=OC，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD= BD= ，

∴OC= =2，

∵AC=4，

∴S菱形ABCD= ACBD=4 ．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠CBD，再根据全等三角形的性质得到AO=OC，由菱形的判别即可得到所求的结论结论；
（2）根据菱形的性质求得OD的值，再根据勾股定理得到OC的值，再菱形的面积公式求得所求答案.