Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的垂直平分线上．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由角平分线的作法可知AD是BAC的平分线，由直角三角形两锐角互余可知∠CAB=60°，从而可知∠BAD=30°，由此可将∠BAD=∠B=30°，从而得到AD=DB，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断③；由三角形的外角的性质可知∠ADC=∠B+∠BAD可判断．

解答 解：由角平分线的作法可知①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°．
∴∠BAD=∠B=30°．
∴AD=DB．
∴点D在AB的垂直平分线上．
∴③正确．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=30°+30°=60°．
故②正确．
故选：D．

点评 本题主要考查的是基本作图、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质，掌握五种基本作图是解题的关键．