Question

3．已知，如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径作⊙O，⊙O分别与其它两边交于点D、点E，过点E作EF⊥AC于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为6，求EF的长；
（3）在第（2）小题的情形下，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，要证明EF为⊙O的切线只要证明∠FEO=90°即可；
（2）由已知可得到AB的长，从而利用解直角三角形求得EF的长；
（3）连接OD，求得AF，FD的长，从而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得阴影部分的面积．

解答 （1）证明：连接EO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵OA=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BEO=60°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°-∠A=30°，
∴∠FEO=180°-∠BEO-∠AEF=90°，
∴EF为⊙O的切线；

（2）解：∵△OBE是等边三角形，
∴BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AE=AB-BE=3，
Rt△AEF中，
∵∠AEF=30°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（3）解：连接OD，由（2）同理可知AD=3，
∴AF=DF=$\frac{3}{2}$，
∴S_{直角梯形FDOE}=$\frac{1}{2}$（DF+OE）•EF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+3）×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27}{8}$$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OED=$\frac{69π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$，
∴S_阴影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$-$\frac{3π}{2}$．

点评 此题考查了切线的判定，等边三角形的性质，以及扇形面积求法，其中切线的判定方法为：有点连接证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．