Question

6．已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：$\widehat{AC}=\widehat{BC}$．

Answer 1

分析 首先连接OC，OD，由M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB，易证得Rt△OMC≌Rt△OND（HL），继而证得∠MOC=∠NOD，然后由圆心角与弧的关系，证得结论．

解答 证明：连接OC，OD，则OC=OD，
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MOC=∠NOD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$．

点评 此题考查了圆心角与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．