Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），

且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．

（1）求证：OM＝ON；

（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）MN.

【解析】

（1）证△OAM≌△OBN即可得；

（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为6且E为OM的中点知OH=HA=3、HM=6，再根据勾股定理得OM=，由勾股定理即可求出MN的长．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，

∴∠OAM=∠OBN=135°，

∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，

∴∠AOM=∠BON，

∴△OAM≌△OBN（ASA），

∴OM=ON；

（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，

∵正方形的边长为6，

∴OH=HA=3，

∵E为OM的中点，

∴HM=6，

则OM=，

∴MN=．