Question

【题目】已知，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2．

（1）写出菱形EFGH的边长的最小值；

（2）请你探究点F到直线CD的距离为定值；

（3）连接FC，设DG=x，△FCG的面积为y；

①求y与x之间的函数关系式并求出y的取值范围；

②当x的长为何值时，点F恰好在正方形ABCD的边上．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）见解析；（3）①y=6-x，6-2≤y≤6．②x=2时，点F恰好在正方形ABCD的边上．

【解析】

（1）当HG⊥CD，即G与D重合时，菱形EFGH的边长最小，最小值为4．

（2）过点F作FN∥DM，根据平行公理可得FN∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据菱形的邻角互补以及平角等于180°可以求出∠1=∠5，然后证明△AEH与△MGF全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=AH，从而得到FM的值不会发生改变；

（3）①根据三角形的面积公式即可解决问题；

②如图连接FH、EG交于点O，作FM⊥AD于M，GN⊥AB于N，FM交GN于J，交EG于K．只要证明四边形EFGH是正方形，再证明∠EHA≌△HGD，推出DG=AH=2即可解决问题；

（1）当HG⊥CD，即G与D重合时，菱形EFGH的边长最小，

∵AD=6，AH=2，

∴DH=4，

∴菱形EFGH的边长的最小值为4．

（2）作FM⊥DC交DC的延长线于M，如图，过点F作FN∥DM，

∵正方形ABCD中AB∥CD

∴FN∥AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵四边形EFGH是菱形，

∴∠HEF+∠GFE=180°，

即∠2+∠3+∠HEF=180°，

又∠4+∠5+∠HEF=180°，

∴∠1=∠5，

在△AEH与△MGF中，

，

∴△AEH≌△MGF（AAS），

∴FM=AH，

∵AH=2，

∴FM=2，是常数不变；

（3）①结合图形可得，y=CGFM=×（6-x）×2=6-x，

当点G与D重合时，x=0，y=6，可得y的最大值为6

当点E与B重合时，EH=GH=，

在Rt△DHG中，DG=，

此时x=2，y=6-2，可得y的最小值为6-2，

∴6-2≤y≤6．

②如图连接FH、EG交于点O，作FM⊥AD于M，GN⊥AB于N，FM交GN于J，交EG于K．

∵四边形EFGH是菱形，

∴FH⊥EG，易知GN⊥FM，

∴∠FOK=∠GJK=90°，

∵∠FKO=∠GKJ，

∴∠OFK=∠JGK，

∵FM=NG，∠FMH=∠GNE=90°，

∴△FMH≌△GNE，

∴EG=FH，

∴四边形EFGH是正方形，

∴∠EHG=90°，

∵∠EHA+∠GHD=90°，∠GHD+∠HGD=90°，

∴∠EHA≌△HGD，

∴DG=AH=2．

∴x=2时，点F恰好在正方形ABCD的边上．